Numpy 线性代数
在线性代数的范畴里，矩阵运算有很多不一样的地方，例如內积、行列式、逆运算等等。
Numpy 提供了一系列可以用于线性代数运算的函数，具体如下：
| 函数 | 描述 |
|---|---|
| dot | 两个数组的点积，即元素对应相乘。 |
| vdot | 两个向量的点积 |
| inner | 两个数组的内积 |
| matmul | 两个数组的矩阵积 |
| determinant | 数组的行列式 |
| solve | 求解线性矩阵方程 |
| inv | 计算矩阵的乘法逆矩阵 |
1. 二元运算
1.1 numpy.dot 函数
对于两个一维数组，dot() 函数计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和，也称之为內积。对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积。
案例
创建两个一维数组 a 和 b：
a = np.array([1, 2, 3, 4])
b = np.array([6, 7, 8, 9])
计算一维数组的內积：
np.dot(a, b)
out:
80
创建两个二维数组：
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = np.array([[11, 22], [33, 44], [55, 66]])
计算二维数组的矩阵乘积：
np.dot(A, B)
out:
array([[242, 308],
[539, 704]])
可以发现，对二维数组，矩阵的乘积满足如下规律：m×p的矩阵A，p×n的矩阵B，其矩阵乘积结果为大小为m×n的矩阵。
1.2 numpy.vdot 函数
numpy.vdot() 函数是求两个向量的点积，即对应位置的元素乘积求和。
案例
创建大小为 3×2 的矩阵 C：
C = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
求解点积：
np.vdot(B, C)
out:
1001
如果对于两个维度不一致的矩阵进行点积运算：
np.vdot(A, B)
out:
1001
观察发现，对于维度不一致的矩阵，如果其元素个数相等，则可以进行 vdot 点积运算；因为在 vdot运算过程中，会首先将矩阵展开。
1.3 numpy.inner 函数
numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的元素乘积之和。
案例
对大小为 3×2 的矩阵 B、C，求其內积：
np.inner(B, C)
out:
array([[ 55, 121, 187],
[121, 275, 429],
[187, 429, 671]])
上述內积的计算过程为：
[
11\*1+22\*2=55, 11\*3+22\*4=121, 11\*5+22\*6=187
33\*1+44\*2=121, 33\*3+44\*4=275, 33\*5+44\*6=429
55\*1+66\*2=187, 55\*3+66\*4=429, 55\*5+66\*6=671
]
1.4 numpy.matmul函数
numpy.matmul 函数返回两个数组的矩阵乘积。对于二维数组，其计算结果与dot一致。
案例
np.matmul(A, B)
out:
array([[242, 308],
[539, 704]])
2. 线性代数求解
Numpy 提供了线性代数函数库 linalg，该库包含了求解线性代数问题所需的常用功能。
2.1 行列式
numpy.linalg.det() 函数计算输入矩阵的行列式。
行列式在线性代数中是非常有用的值。 它从方阵的对角元素计算。 对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。换句话说，对于矩阵 [[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。 较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。
案例
M = np.array([[6, 2, 1], [4, -2, 15], [12, 8, 7]])
M
out:
array([[ 6, 2, 1],
[ 4, -2, 15],
[12, 8, 7]])
求解矩阵 M 的行列式：
np.linalg.det(M)
out:
-444
2.2 方程组的解
numpy.linalg.solve() 函数给出了矩阵形式的线性方程的解。
案例
对于如下方程组：
x + y + z =10
2x + y = 6
3y -2z = 2
将方程组转化为矩阵形式：Ax=b，则有：
A = np.array([[1, 1, 1], [2, 1, 0], [0, 3, -2]])
b = np.array([[10], [6], [2]])
求解方程组：
np.linalg.solve(A, b)
out:
array([[1.],
[4.],
[5.]])
即上述方程组的解为：x=1，y=4，z=5。
2.3 逆矩阵
numpy.linalg.inv() 函数计算矩阵的乘法逆矩阵。
逆矩阵的概念如下：设 A 是数域上的一个 n 阶矩阵，若在相同数域上存在另一个 n 阶矩阵 B，使得： AB=BA=E ，则我们称 B 是 A 的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。
注意：E 为单位矩阵。
案例
利用逆矩阵，可以换一种思路求解 2.2 中的方程组的解：
对于矩阵 A，假设逆矩阵为 F，则有：x=Fb。因此方程组的解为：
print("计算A的逆矩阵：")
F = np.linalg.inv(A)
print("A的逆矩阵F:", F)
print("方程组的解为：", np.matmul(F, b))
计算过程如下：
计算A的逆矩阵：
A的逆矩阵F: [[-0.25 0.625 -0.125]
[ 0.5 -0.25 0.25 ]
[ 0.75 -0.375 -0.125]]
方程组的解为： [[1.]
[4.]
[5.]]
3. 小结
本节介绍了 Numpy 中与线性代数有关的常用函数，其中重点介绍了內积、点积、求行列式、求逆、求解方程等方法。